Kan et parti komme i Folketinget med kun 3 mandater?

Teknisk notat: Monte Carlo-analyse af mandatfordelingen ved spærregrænsen

23. marts 2026

1. Baggrund

Ved danske folketingsvalg sikrer systemet af kredsmandater og tillægsmandater, at mandatfordelingen i Folketinget afspejler den samlede stemmefordeling. Partier der opnår mindst 2 % af de afgivne gyldige stemmer er berettiget til tillægsmandater (§ 77, stk. 1, nr. 3 i valgloven; lovbekendtgørelse nr. 294 af 11. marts 2022).

Spørgsmålet i dette notat er: kan et parti, der akkurat passerer 2 %-spærregrænsen, ende med kun 3 mandater? Historisk er det ikke sket — partier der passerer spærregrænsen har altid fået mindst 4 mandater. Men der har ikke tidligere været en systematisk analyse af, om det er matematisk muligt, og under hvilke betingelser det kunne forekomme.

2. Metode

2.1 Den nationale mandatfordeling

Det samlede mandattal per parti bestemmes af den nationale fordeling (§ 77, stk. 2), der anvender den største brøks metode (Hare-kvoten):

1. Identificér berettigede partier (dem der opfylder mindst ét af tre kriterier i § 77, stk. 1; i denne analyse: ≥ 2 % af gyldige stemmer).
2. Beregn kvoten Q = (sum af berettigede partiers stemmer) / (175 − antal kredsmandater tilfaldet kandidater uden for partierne). I praksis er nævneren 175, da uafhængige kandidater ikke har vundet kredsmandater ved moderne valg.
3. Hvert berettiget parti i's eksakte mandattal er m_i = v_i / Q.
4. Heltalsdelen ⌊m_i⌋ tildeles først.
5. De resterende mandater (175 − Σ⌊m_i⌋) fordeles til partierne med de største brøker m_i − ⌊m_i⌋.
6. Ved lige store brøker foretages lodtrækning.

Den efterfølgende geografiske fordeling (kredsmandater via d'Hondts metode i storkredse; tillægsmandater via Sainte-Laguës metode på landsdele og storkredse) ændrer ikke det samlede mandattal per parti — kun fordelingen mellem kredsmandat og tillægsmandater.

2.2 Hvorfor 3 mandater er muligt: analytisk argument

Et parti med præcis 2,0 % af stemmerne — og ingen spildte stemmer til partier under spærregrænsen — får:

m = 0,02 × 175 = 3,50

Heltalsdelen er 3. Brøken er 0,50. Partiet får det fjerde mandat kun hvis 0,50 er blandt de største restbrøker. Hvis tilstrækkeligt mange andre partier har brøker > 0,50 og restmandaterne dermed er opbrugt, ender partiet med 3 mandater.

Tabel 1 viser en konstrueret stemmefordeling der demonstrerer dette. De 5 restmandater tildeles H (0,85), A (0,80), F (0,73), I (0,68) og J (0,68). Parti K's brøk (0,50) er den sjettestørste og får ikke et restmandat.

Tabel 1. Analytisk konstruktion: 11 partier, alle over 2 %.

2.3 Simuleringsdesign

For at estimere sandsynligheden under realistiske betingelser gennemføres en Monte Carlo-simulering med 5.000.000 iterationer:

• Udgangspunkt. Altingets meningsmålingssnit (tabel 2).
• Perturbation. Hvert partis stemmeandel perturberes uafhængigt med ε_i ~ Uniform(−3; 3) procentpoint og afkortes ved 0.
• Normalisering. De rå andele normaliseres til at summere til 100 %.
• Fordeling. Mandater fordeles via Hare-kvoten + største brøk.

Tabel 2. Meningsmålingssnit (Altinget, marts 2026).

2.4 Antagelser

Følgende antagelser bør vurderes ved fortolkning af resultaterne:

1. Kun national fordeling. Modellen implementerer udelukkende den nationale mandatfordeling (§ 77, stk. 2). Den geografiske fordeling (kredsmandater via d'Hondt, tillægsmandater via Sainte-Laguë) modelleres ikke, da den ikke ændrer partiers samlede mandattal.
2. Uafhængig perturbation. Partiernes stemmeandele varieres uafhængigt. I virkeligheden er der korrelationer (blokdynamik). Denne antagelse påvirker den estimerede sandsynlighed for specifikke scenarier (f.eks. sandsynligheden for at ALT lander ved præcis 2,0 %), men ikke den betingede sandsynlighed givet en bestemt stemmeandel (se afsnit 4).
3. Uniform perturbation. Hvert parti perturberes med ± 3 procentpoint (uniform fordeling). En normalfordeling med σ ≈ 1,5 pp ville koncentrere mere masse nær gennemsnittet. Den uniforme fordeling sikrer fuld dækning af parameterrummet, men overvurderer sandsynligheden for ekstreme udsving.
4. Renormalisering. Efter perturbation normaliseres andelene til at summere til 100 %. Dette kan forskyde individuelle andele marginalt (typisk < 0,5 pp).
5. Kun 2 %-reglen. De to øvrige kriterier for berettigelse til tillægsmandater (kredsmandat eller tilstrækkelige stemmer i to af tre landsdele) modelleres ikke. Et parti under 2 % nationalt kunne i princippet kvalificere sig via et kredsmandat — dette scenario er uden for denne analyses fokus. Retning: Flere berettigede partier øger konkurrencen om restmandater og gør 3 mandater mere sandsynligt. Analysen undervurderer derfor marginalt.
6. Ingen overhæng. Overhængsmekanismen (§ 77, stk. 4–5) ignoreres. Overhæng er aldrig forekommet med den nuværende kredsstruktur og er ekstremt usandsynligt for et 2 %-parti.
7. Lukket partisystem. De 12 partier i modellen antages at udgøre alle gyldige stemmer. Stemmer til partier uden for modellen ignoreres, svarende til ca. 0,2 % i meningsmålingerne.
8. Ingen uafhængige kandidater. § 77, stk. 2 foreskriver at kvotens nævner er 175 minus antal kredsmandater tilfaldet kandidater uden for partierne. Modellen bruger fast 175. Hvis en uafhængig kandidat vandt et kredsmandat, ville nævneren falde til 174 og et 2 %-partis eksakte mandattal falde fra 3,50 til ~3,48 — en lavere brøk og dermed højere sandsynlighed for 3 mandater. Retning: Analysen undervurderer marginalt.

3. Resultater

3.1 Overordnede sandsynligheder

Tabel 3. Overordnede sandsynligheder (5 mio. iterationer).

Den ubetingede sandsynlighed er lav (~0,5 %), primært fordi ALT og BP med de nuværende meningsmålingsnit sjældent lander i det kritiske stemmeinterval. Men den betingede sandsynlighed givet en specifik stemmeandel kan være markant højere.

3.2 Den kritiske zone

3-mandats-udfaldet er ekstremt følsomt over for partiets præcise stemmeandel. ALT og BP viser identisk mønster.

Tabel 4. P(3 mandater | stemmeandel).

Det afgørende fund: 3 mandater er praktisk talt umuligt medmindre partiets stemmeandel ligger under ~2,10 %. I det snævre vindue [2,00; 2,025) % er der til gengæld ca. 35 % sandsynlighed for kun 3 mandater. Mekanismen: jo tættere på 2,0 %, jo tættere er brøken på 0,50 — den lavest mulige for et berettiget parti — og jo lettere er den at overhale.

3.3 Strukturel betingelse: antal partier over spærregrænsen

Tabel 5. P(3 mandater) betinget på antal berettigede partier.

I denne simulering forekommer 3 mandater ikke med kun 10 partier over spærregrænsen, men kræver mindst 11. Sandsynligheden tredobles fra 11 til 12. Dette er en konsekvens af den specifikke Altinget-konfiguration, hvor de 10 store partier alle er > 5,8 % og aldrig kan nå den kritiske zone. Med en anden partikonstellation (f.eks. et "stort" parti tættere på 2 %) kunne 3 mandater i princippet forekomme med færre berettigede partier.

Bemærk: de 10 "store" partier (S–R, alle > 5,8 %) er altid over spærregrænsen. Hvis kun ét af ALT/BP passerer, er der 11 berettigede partier, og 3 mandater er muligt (0,32 %). Hvis begge passerer (12 partier), tredobles sandsynligheden (1,02 %). 3 mandater forekommer aldrig med kun de 10 store partier, fordi ingen af dem kan lande i den kritiske zone nær 2 %.

3.4 Mandatfordeling for ALT og BP

Tabel 6. Mandatfordeling betinget på at passere spærregrænsen.

Fordelingen er relativt flad mellem 4 og 9 mandater. 3 mandater er det klart sjældneste positive udfald — ca. 30 gange sjældnere end 4 mandater.

4. Diskussion

Implikationer for valgdækning

1. Scenariet er reelt, men kræver en meget specifik stemmeandel. Partiet skal lande i det smalle vindue [2,00; ~2,10] % — kun ~0,1 procentpoint bredt. Med ALT på 2,6 % og BP på 2,5 % i meningsmålingerne kræver det et fald på 0,5–0,6 pp til den nedre del af usikkerhedsintervallet.
2. Mindst ét af de to småpartier skal passere. 3 mandater kræver mindst 11 berettigede partier, dvs. at mindst ét af ALT/BP passerer 2 %. Sandsynligheden tredobles når begge passerer (12 partier, 1,0 %) i forhold til kun ét (11 partier, 0,3 %).
3. Betinget sandsynlighed vs. ubetinget. Den ubetingede sandsynlighed (~0,5 %) afspejler primært, at det er usandsynligt at ALT eller BP lander ved præcis 2,0–2,1 %. Hvis man på valgaftenen kan se, at et parti balancerer ved præcis 2,0 %, peger simuleringen på ca. 35 % chance for kun 3 mandater — men dette tal afhænger af de øvrige partiers restbrøker og dermed af den specifikke valgkonfiguration. Det er stabilt på tværs af perturbationsbredder (tabel 8) men ikke en universel konstant.
4. Konsekvensen er begrænset men bemærkelsesværdig. Forskellen mellem 3 og 4 mandater er ét folketingsmedlem. Det ændrer næppe den parlamentariske situation afgørende, men ville være historisk — det er aldrig sket før.

Robusthed og begrænsninger

Den vigtigste skelnen i denne analyse er mellem to typer resultater:

Robust (uafhængigt af model og partikonfiguration):

• At 3 mandater er matematisk muligt — dette er et eksistensbevis via den analytiske konstruktion (tabel 1) og følger direkte af den største brøks metode.
• At det kun kan ske meget tæt på adgangstærsklen (stemmeandel under ~2,10 %).
• At sandsynligheden falder hurtigt med stigende stemmeandel.

Stabilt inden for denne partikonfiguration, men ikke modeluafhængigt:

• Den betingede sandsynlighed (~35 % ved [2,00; 2,025) %) er stabil på tværs af perturbationsbredder (tabel 8: 33–35 % fra ± 1 til ± 5 pp). Men den afhænger af de øvrige partiers stemmeandele, som bestemmer deres restbrøker i den største brøks metode. Med en helt anden partikonfiguration kunne den betingede sandsynlighed være højere eller lavere.
• At 3 mandater i denne simulering kun forekommer med ≥ 11 berettigede partier er et resultat af den specifikke Altinget-konfiguration (de 10 "store" partier er alle > 5,8 % og kan ikke nå den kritiske zone). Med andre partikonstellationer kunne det ske med færre partier.

Modelfølsomt:

• Den ubetingede sandsynlighed (0,5 %) afhænger af perturbationsfordelingen, korrelationer mellem partier og pollusikkerhed. Den varierer fra ~0,3 % til ~1,6 % afhængigt af perturbationsbredden (tabel 7).

De specifikke sandsynligheder (0,5 % ubetinget, ~35 % betinget) bør betragtes som estimater betinget på den aktuelle pollingkonfiguration — ikke som universelle konstanter.

Sensitivitet: perturbationsbredden

For at verificere denne skelnen er simuleringen gentaget med perturbationsbredder fra ± 1 til ± 5 procentpoint (2 mio. iterationer per bredde).

Tabel 7. Ubetinget P(ALT eller BP = 3 mandater) per perturbationsbredde.

Den ubetingede sandsynlighed varierer en faktor 5 — fra 1,6 % (± 1 pp) til 0,3 % (± 5 pp). Snævrere perturbation placerer partierne oftere i den kritiske zone.

Tabel 8. Betinget P(3 mandater | stemmeandel) per perturbationsbredde (poolet ALT + BP).

De betingede sandsynligheder er stabile på tværs af perturbationsbredder inden for denne partikonfiguration (33–35 %). Stabiliteten skyldes at de store partiers restbrøker randomiseres tilstrækkeligt ved enhver ikke-triviel perturbation. Med helt andre pollingtal kunne det betingede niveau være anderledes.

Uafhængig validering mod valgloven

Analysen er blevet underkastet en systematisk gennemgang mod valglovens fulde ordlyd (§§ 68–81) med fokus på oversete mekanismer og fejlimplementering. Gennemgangen kontrollerede ni specifikke punkter: kvoteberegningen, spærregrænsekriterier, overhængsmekanismen, interaktion mellem kreds- og tillægsmandater, nævnerværdien (175), lodtrækning, perturbationsmodellen, historiske kontrolscenarier og manglende mekanismer (valgforbund, § 77 stk. 6, kandidater uden for partierne).

Hovedkonklusion: Ingen af de identificerede afvigelser invaliderer analysens resultat. De tre væsentligste forbehold er:

1. Udelukkelse af alternative spærregrænsekriterier (kredsmandat, regional kvotient) kan undervurdere antallet af berettigede partier og dermed sandsynligheden for 3 mandater.
2. Manglende fradrag for eventuelle uafhængige kandidaters kredsmandater i kvotens nævner reducerer brøken marginalt og gør 3 mandater lidt mere sandsynligt end modelleret.
3. Perturbationsmodellen (uniform ± 3 pp, uafhængig) påvirker den ubetingede sandsynlighed, men ikke den betingede.

Alle identificerede afvigelser trækker i samme retning: de medfører at analysen undervurderer sandsynligheden for 3 mandater. De estimerede sandsynligheder er derfor et konservativt nedre bound. Afvigelsernes samlede effekt vurderes dog som lille, da de relevante scenarier (uafhængige kandidater, partier under 2 % der kvalificerer sig via kredsmandat) er historisk meget sjældne.

5. Konklusion

Det er matematisk muligt — og under specifikke betingelser ikke usandsynligt — for et parti at komme i Folketinget med kun 3 mandater. Mekanismen er klar: et parti der akkurat passerer 2 %-spærregrænsen har en restbrøk tæt på 0,50 i den største brøks metode, og risikerer at denne brøk overhales af tilstrækkeligt mange andre partiers brøker.

For det kommende valg kræver scenariet at mindst ét af ALT/BP passerer spærregrænsen og lander i det snævre vindue 2,00–2,10 %. Sandsynligheden er størst når begge passerer (flere konkurrenter om restmandater). Betinget på den rigtige stemmeandel er sandsynligheden for 3 mandater op til 35 %.

Appendiks: R-kode

Mandatfordelingsalgoritmen (Hare-kvote + største brøk, § 77, stk. 2). Lodtrækning ved lige store brøker simuleres med tilfældig jitter.

allocate <- function(shares, threshold = 0.02, n_seats = 175L) {
  elig  <- shares >= threshold
  if (!any(elig)) return(rep(0L, length(shares)))
  es    <- shares[elig]
  exact <- es / (sum(es) / n_seats)   # eksakte mandattal
  base  <- floor(exact)               # heltalsdele
  frac  <- exact - base               # brøker
  n_rem <- n_seats - sum(base)         # restmandater
  if (n_rem > 0L) {
    # Største brøker får restmandater; lod ved lighed
    idx <- order(frac + runif(length(frac), 0, 1e-12),
                 decreasing = TRUE)
    base[idx[seq_len(n_rem)]] <-
      base[idx[seq_len(n_rem)]] + 1L
  }
  out <- rep(0L, length(shares))
  out[elig] <- base
  out
}

Perturbation af stemmeandele (hovedløkke):

polls <- c(S=21.2, SF=12.5, V=10.6, LA=10.4, DD=7.3,
           DF=7.1, K=6.9, M=6.6, EL=6.3, R=5.8,
           ALT=2.6, BP=2.5)

for (i in 1:5e6) {
  raw   <- pmax(polls + runif(12, -3, 3), 0)
  sh    <- raw / sum(raw)       # normaliser til 100 %
  seats <- allocate(sh)          # fordel 175 mandater
  # ... registrer resultater ...
}